Hod kostkou a matematika

Házení kostkou má dlouhou historii. Na počátku byli šamani, kteří ještě neměli dnešní šestihranné hrací kostky, ale používali skutečné zvířecí kosti. Z jejich polohy po hodu věštili budoucnost. I Cézarův výrok „kostky jsou vrženy“ ukazuje, jak zažitá byla představa, že z hodu kostkou lze odvodit další chod dějin.

Hod kostkou je vcelku logicky i jedním z nejprobádanějších pravděpodobnostních pokusů, podobně jako hod mincí. Hrací kostka má šest stran. U poctivé hrací kostky tedy očekáváme, že pravděpodobnost každého z šesti možných výsledků je stejná – jedna šestina. Pokud kostku hodíme jednou, bude pravděpodobnost pádu šestky právě jedna šestina. Kostka nemá žádnou paměť. Když jí hodíme podruhé, bude pravděpodobnost opět jedna šestina. Stejně tak i potřetí nebo po čtyřicáté. Nejprve se podívejme, jaká je pravděpodobnost, že budeme házet samé šestky. Při jednom pokusu je to 1/6, při dvou pokusech už je to jenom jedna šestina z jedné šestiny, což je 1/36. Při třech pokusech už je to jenom 1/216 atakdále. Pravděpodobnost hodu samých šestek se rychle zmenšuje, nikdy ale nedosáhne nuly. Všimněme si, že když musí nastat několik událostí, pravděpodobnost se násobí.

O něco složitější bude výpočet pravděpodobnosti, že padne, dejme tomu, jedna šestka ze dvou hodů. K tomu může dojít dvěma možnými způsoby – buď šestka padne při prvním pokusu, nebo při druhém. Pojďme si znázornit možné scénáře při třech hodech. Nás zajímají jenom šestky. Ostatním výsledkům budeme proto říkat třeba „nešestky“. Statistici používají slov „zdar“ a „nezdar“.

‍

Z obrázku vidíme, že může nastat dohromady osm různých scénářů. Ne každý z nich má ale stejnou pravděpodobnost. Scénář „šestka – šestka – šestka“ už jsme probírali. Pravděpodobnost tohoto scénáře je 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216.

Větší šanci ale budeme dávat například scénáři „nešestka – nešestka – nešestka“. Pravděpodobnost „nešestky“ je totiž 5/6.  Z toho vyplývá 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216, což je zhruba 0,6.

Na obrázku vidíme i tři možné scénáře, kdy padla jedna šestka ze tří hodů a také tři scénáře, kdy padly šestky dvě. I u každého z nich dokážeme vypočítat pravděpodobnost. Podívejme se třeba na třetí řádek (nešestka – šestka – nešestka). Jeho pravděpodobnost bude 5/6 x 1/6 x 5/6 = 25/216. Stejnou pravděpodobnost bude mít i řádek druhý a pátý. Proto jejich pravděpodobnosti můžeme vzájemně sečíst. Pravděpodobnost pádu jedné šestky ze tří hodů je tedy 25/216 + 25/216 +25/216 = 75/216.

Pro tři hody jedinou kostkou dokážeme tedy spočítat pravděpodobnost všech možných kombinací. Tyto pravděpodobnosti pak dokážeme znázornit jednoduchým sloupečkovým diagramem.

‍

‍

Při třech hodech bude stále nejpravděpodobnější, že se nám nepodaří hodit ani jednu šestku. Všechny ostatní možnosti jsou méně pravděpodobné. Pokud ale budeme házet třicetkrát, už nejspíš pár šestek padne:

‍

‍

To, co na obrázku vidíme, se jmenuje binomické rozdělení. Poprvé jej popsal švýcarský matematik Jacob Bernoulli ve svém díle Ars conjectandi (Umění předpokládat) již na sklonku sedmnáctého století.

‍

Ten je zároveň autorem teorie velkých čísel. Ta (velmi zjednodušeně) říká, že pokud uděláme mnoho nezávislých pokusů se stejnou pravděpodobností úspěchu, bude se průměrná úspěšnost všech pokusů přibližovat hodnotě pravděpodobné. Teorie velkých čísel často vedla hazardní hráče k vymýšlení různých „schémat“ či „strategií“. Nejznámější (a taky nejpitomější) je schéma, kdy po každé prohře zdvojnásobíme částku a vsadíme znovu stejné číslo nebo barvu.

Články na toto téma

Máte lepší úsudek než lékaři? Zkuste si jednoduchý test

Objevili Božskou částici nebo je to jen náhoda? Jak fyzici hledají jistotu

‍